Continuity and Differentiability

CBSE · Class 12 · Maths · Chapter 5 · 43 words

All words in this list

• algebra of continuous functions — Rules saying sums, differences, products and quotients (nonzero denominator) of continuous functions are again continuous.संतत फलनों का बीजगणित — संतत फलनों के योग, अंतर…جبر الدوال المتصلة: مجموع الدوال المتصلة وفرقها…algèbre des fonctions continues : somme…aljabar fungsi kontinu: jumlah, selisih, hasil…连续函数的运算：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续
• chain rule — Derivative of a composite function: dy/dx = (dy/du)(du/dx), or (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x).शृंखला नियम — संयुक्त फलन का अवकलज: dy/dx =…قاعدة السلسلة: مشتقة الاقتران المركب dy/dx =règle de dérivation en chaîne : dy/dx =aturan rantai: dy/dx =链式法则：dy/dx =
• composite function — A function formed by applying one function to the output of another, written (f∘g)(x) = f(g(x)).संयुक्त फलन — एक फलन को दूसरे के निर्गत पर लगाने…دالة مركبة: دالة تنتج بتطبيق دالة على ناتج دالة…fonction composée : fonction obtenue en…fungsi komposisi: fungsi yang dibentuk dengan…复合函数：把一个函数作用于另一个函数的输出得到的函数， = f)
• continuity — A function is continuous at a if lim (x → a) f(x) = f(a); its graph has no break there.संतता — फलन a पर संतत है यदि lim f = fالاستمرارية: الاقتران مستمر عند a إذا كانت lim f…continuité : f est continue en a si lim f = f…kekontinuan: fungsi kontinu di a jika lim f = f…连续性：若 lim f = f，则 f 在 a 处连续，图像不断开
• continuity at a point — A function f is continuous at x = c if its limit at c exists and equals f(c).एक बिंदु पर सांतत्य — फलन f बिंदु x = c पर संतत…الاتصال عند نقطة: تكون الدالة f متصلة عند x = c…continuité en un point : f est continue en c si…kekontinuan di suatu titik: f kontinu di x = c…函数在一点的连续性：若 x → c 时极限存在且等于 f，则 f 在 x = c 处连续
• continuity of composite function — If g is continuous at a and f at g(a), then f∘g is continuous at a.संयुक्त फलन की संततताاتصال الدالة المركبة: إذا اتصلت g عند a واتصلت f…continuité d'une fonction composée : si g est…kekontinuan fungsi komposisi: jika g kontinu di a…复合函数的连续性：若 g 在 a 连续且 f 在 g 连续，则 f∘g 在 a 连续
• continuity on an interval — A function is continuous on an interval if it is continuous at every point of it.अंतराल पर संततताالاتصال على فترة: الدالة متصلة على فترة إن كانت…continuité sur un intervalle : continue en chaque…kekontinuan pada interval: fungsi kontinu di…区间上的连续性：函数在区间内每一点都连续
• continuity on an interval — A function is continuous on an interval if it is continuous at every point of it.अंतराल पर संततताالاتصال على فترة: الدالة متصلة على فترة إن كانت…continuité sur un intervalle : continue en chaque…kekontinuan pada interval: fungsi kontinu di…区间上的连续性：函数在区间内每一点都连续
• continuous function — A function that is continuous at every point of its domain, so its graph has no breaks.संतत फलन — वह फलन जो अपने प्रांत के प्रत्येक…دالة متصلة: دالة متصلة عند كل نقطة من مجالها فلا…fonction continue : fonction continue en tout…fungsi kontinu: fungsi yang kontinu di setiap…连续函数：在定义域内每一点都连续的函数，图像没有间断
• derivative — Rate of change of a function: f′(x) = lim (h → 0) [f(x + h) − f(x)]/h, also the slope of the tangent.अवकलज — फलन के परिवर्तन की दर: f′ = lim [f −…المشتقة: معدل تغير الاقتران f′ = lim [f − f]/h…dérivée : taux de variation f′ = lim [f − f]/h…turunan: laju perubahan fungsi f′ = lim [f −…导数：函数的变化率 f′ = lim [f − f]/h，也是切线斜率
• derivative of exponential function — The rate of change of eˣ or aˣ: d/dx(eˣ) = eˣ and d/dx(aˣ) = aˣ ln a.चरघातांकी फलन का अवकलज — eˣ या aˣ के परिवर्तन की…مشتقة الدالة الأسية: d/dx = eˣ و d/dx = aˣ ln adérivée de la fonction exponentielle :′ = eˣ et′…turunan fungsi eksponensial: d/dx = eˣ dan d/dx =…指数函数的导数：′ = eˣ，′ = aˣ ln a
• derivative of function in parametric form — The slope dy/dx of a curve x = f(t), y = g(t), found as (dy/dt) ÷ (dx/dt).प्राचलिक रूप में दिए फलन का अवकलज — x = f, y = g…مشتقة دالة بالصورة الوسيطية: ميل المنحنى x = f و…dérivée d'une fonction sous forme paramétrique …turunan fungsi bentuk parameter: gradien dy/dx…参数方程的导数：曲线 x = f，y = g 的斜率 dy/dx 等于 ÷
• derivative of inverse trigonometric functions — The standard formulas for d/dx of sin⁻¹x, cos⁻¹x, tan⁻¹x and the rest, found from implicit differentiation.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज — sin⁻¹x…مشتقات الدوال المثلثية العكسية: صيغ قياسية لـ…dérivées des fonctions trigonométriques…turunan fungsi invers trigonometri: rumus baku…反三角函数的导数：sin⁻¹x、cos⁻¹x、tan⁻¹x 等的标准求导公式
• derivative of logarithmic function — Rule: d/dx (ln x) = 1/x, x > 0; base a gives 1 ÷ (x ln a).लघुगणकीय फलन का अवकलजمشتقة الدالة اللوغاريتمية: d/dx = 1/xdérivée de la fonction logarithme : d/dx = 1/x…turunan fungsi logaritma: d/dx = 1/x untuk x > 0对数函数的导数：d/dx = 1/x（x > 0）
• derivative of modulus function — d/dx |x| = x ÷ |x|: 1 for x > 0, −1 for x < 0.मापांक फलन का अवकलजمشتقة دالة القيمة المطلقة: d/dx |x| = x ÷ |x|…dérivée de la valeur absolue :′ = x ÷ |x|, valant…turunan fungsi nilai mutlak: d/dx |x| = x ÷ |x|…绝对值函数的导数：d/dx |x| = x ÷ |x|，x > 0 时为 1，x < 0 时为 −1
• differentiability — Having a derivative at a point, meaning the graph has one clear tangent slope there.अवकलनीयता — वह गुण कि किसी बिंदु पर फलन का अवकलज…قابلية الاشتقاق: وجود مشتقة للدالة عند نقطة، أي…dérivabilité : propriété d'une fonction d'avoir…keterdiferensialan: sifat fungsi yang memiliki…可导性：函数在某点存在导数，即图像在该点有确定的切线斜率
• differentiability implies continuity — If f is differentiable at a, then f is continuous at a; the converse is false.अवकलनीयता से संततताالقابلية للاشتقاق تستلزم الاتصال: إذا اشتُقّت f…dérivable implique continue : si f est dérivable…terdiferensialkan berarti kontinu: jika f…可导必连续：f 在 a 可导则在 a 连续，反之不成立
• differentiable — Having a derivative at a point or on an interval; the graph is smooth, no corner or break.अवकलनीय — किसी बिंदु या अंतराल के प्रत्येक बिंदु…قابل للاشتقاق: له مشتقة عند نقطة أو عند كل نقطة…dérivable : qui admet une dérivée en un point ou…terdiferensialkan: memiliki turunan di suatu…可导的：在一点或区间内每一点都有导数，图像光滑，无尖角或间断
• discontinuity — A point where a function is not continuous: its limit is missing or differs from the function value.असंतता — वह बिंदु जहाँ फलन संतत नहीं होता: सीमा…عدم الاتصال: نقطة تفشل عندها الدالة في الاتصال،…discontinuité : point où une fonction n'est pas…diskontinuitas: titik tempat fungsi tidak…间断点：函数不连续的点，极限不存在或不等于函数值
• euler's number — The constant e ≈ 2.71828, base of natural logarithms, with d/dx (eˣ) = eˣ.यूलर संख्याعدد أويلر e ≈ 2.71828: أساس اللوغاريتم الطبيعي…nombre d'Euler e ≈ 2,71828 : base du logarithme…bilangan Euler e ≈ 2,71828: basis logaritma…欧拉数 e ≈ 2.71828：自然对数的底，′ = eˣ
• exponential function — A function aˣ, with a > 0 and a ≠ 1, where the variable sits in the power.चरघातांकी फलन — f = aˣ के रूप का फलन, जहाँ a > 0…دالة أسية: دالة من الشكل f = aˣ حيث a > 0 و a ≠ 1…fonction exponentielle : fonction de la forme f =…fungsi eksponen: fungsi berbentuk f = aˣ dengan a…指数函数：形如 f = aˣ（a > 0 且 a ≠ 1）的函数，自变量在指数位置
• implicit differentiation — Finding dy/dx from an equation in x and y by differentiating both sides, treating y as x-dependent.अव्यक्त अवकलन — x और y के समीकरण से सीधे dy/dx…الاشتقاق الضمني: إيجاد dy/dx مباشرة من معادلة في…dérivation implicite : calcul de dy/dx…diferensiasi implisit: mencari dy/dx langsung…隐函数求导：对含 x、y 的方程两边求导（把 y 看作 x 的函数）直接得到 dy/dx
• implicit function — A relation between x and y written as an equation, with y not alone on one side.अव्यक्त फलन — x और y के बीच ऐसा संबंध जो समीकरण…دالة ضمنية: علاقة بين x و y معطاة بمعادلة لا يظهر…fonction implicite : relation entre x et y donnée…fungsi implisit: hubungan x dan y berbentuk…隐函数：x 与 y 的关系以方程给出，y 没有单独写成 y = f 的形式
• infinite discontinuity — A break at x = a where the function grows without bound, giving a vertical asymptote.अनंत असंततताانقطاع لانهائي: تكبر الدالة بلا حد عند x = a…discontinuité infinie : la fonction tend vers…diskontinuitas tak hingga: fungsi membesar tanpa…无穷间断点：x = a 处函数趋于无穷，形成竖直渐近线
• jump discontinuity — A break where both one-sided limits exist but are unequal.उछाल असंततताانقطاع قفزي: النهايتان من اليمين واليسار موجودتان…discontinuité de première espèce : limites à…diskontinuitas lompat: limit kiri dan kanan ada…跳跃间断点：左右极限都存在但不相等
• Lagrange's mean value theorem — The mean value theorem: some point has tangent slope equal to the average slope over [a, b].लैग्रांज का माध्यमान प्रमेय — [a, b] पर ऐसा बिंदु…مبرهنة القيمة المتوسطة للاغرانج: توجد نقطة c…théorème des accroissements finis de Lagrange …teorema nilai rata-rata Lagrange: ada titik c…拉格朗日中值定理：存在 c 使切线斜率 f′ 等于区间 [a, b] 上的平均斜率
• left-hand derivative — The derivative computed only from points to the left of c, with h approaching 0 through negative values.बायाँ अवकलज — केवल c के बायीं ओर के बिंदुओं से…المشتقة من اليسار: المشتقة المحسوبة باستعمال نقاط…dérivée à gauche : dérivée calculée avec les…turunan kiri: turunan yang dihitung dari titik di…左导数：仅用 c 左侧的点求得的导数 lim [f − f] ÷ h
• limit — The value a function f(x) approaches as x gets closer and closer to a point a, written lim f(x).सीमा — वह मान जिसकी ओर फलन f बढ़ता है जब x बिंदु…النهاية: القيمة التي يقترب منها الاقتران f عندما…limite : valeur dont f se rapproche quand x tend…limit: nilai yang didekati f saat x mendekati a极限：x 趋近 a 时 f 所趋近的值
• logarithmic differentiation — A method of differentiating products, quotients or variable powers like xˣ by taking logarithms of both sides first.लघुगणकीय अवकलन — गुणनफल, भागफल या xˣ जैसी चर…الاشتقاق اللوغاريتمي: طريقة لاشتقاق الجداءات أو…dérivation logarithmique : méthode pour dériver…diferensiasi logaritmik: metode menurunkan hasil…对数求导法：先对两边取对数再求导，用于乘积、商或形如 xˣ 的变幂函数
• logarithmic function — The function y = logₐx, the inverse of the exponential aˣ, defined only for x > 0.लघुगणकीय फलन — फलन y = logₐx, जो चरघातांकी aˣ का…دالة لوغاريتمية: الدالة y = logₐx وهي عكس الدالة…fonction logarithme : fonction y = logₐx…fungsi logaritma: fungsi y = logₐx, invers dari…对数函数：函数 y = logₐx，是指数函数 aˣ 的反函数，仅在 x > 0 时有定义
• mean value theorem — Between a and b, some tangent slope equals the average slope over [a, b], given continuity and differentiability.माध्यमान प्रमेय — यदि f अंतराल [a, b] पर संतत और…مبرهنة القيمة المتوسطة: إذا كانت f متصلة على [a…théorème des accroissements finis : si f est…teorema nilai rata-rata: jika f kontinu pada [a…中值定理（拉格朗日）：若 f 在 [a, b] 上连续，在 内可导，则存在 c 使 f′ = [f…
• natural logarithm — The logarithm to base e (about 2.718), written ln x, with derivative 1/x for x > 0.प्राकृतिक लघुगणक — आधार e वाला लघुगणक, जिसे ln x…اللوغاريتم الطبيعي: اللوغاريتم بالأساس e ويكتب ln…logarithme népérien : logarithme de base e, noté…logaritma natural: logaritma berbasis e, ditulis…自然对数：以 e（e ≈ 2.718）为底的对数，记作 ln x，且当 x > 0 时 d/dx…
• nth derivative — The result of differentiating a function n times, written f⁽ⁿ⁾(x) or dⁿy/dxⁿ.n-वाँ अवकलजالمشتقة النونية: ناتج الاشتقاق n مرة f⁽ⁿ⁾ أو…dérivée n-ième : résultat de n dérivations…turunan ke-n: hasil menurunkan fungsi n kali…n 阶导数：对函数求 n 次导，记作 f⁽ⁿ⁾ 或 dⁿy/dxⁿ
• parametric equations — Two equations giving x and y each in terms of a third variable, the parameter t.प्राचलिक समीकरण — x और y को तीसरे चर के पदों में…معادلات وسيطية: زوج من المعادلات يعطي x و y…équations paramétriques : couple d'équations…persamaan parameter: pasangan persamaan yang…参数方程：用第三个变量（参数 t）分别表示 x 和 y 的一对方程
• power rule — Derivative of xⁿ is n xⁿ⁻¹ (for real n).घात नियम — xⁿ का अवकलज n xⁿ⁻¹قاعدة القوة: مشتقة xⁿ تساوي n xⁿ⁻¹règle de la puissance :′ = n xⁿ⁻¹aturan pangkat: turunan xⁿ adalah n xⁿ⁻¹幂函数求导法则：′ = n xⁿ⁻¹
• product rule — Derivative of a product: (uv)′ = u′v + uv′.गुणनफल नियम — गुणनफल का अवकलज:′ = u′v + uv′قاعدة الضرب: مشتقة الجداء′ = u′v + uv′règle du produit :′ = u′v + uv′aturan hasil kali:′ = u′v + uv′乘积法则：′ = u′v + uv′
• quotient rule — Derivative of a ratio: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², where v ≠ 0.भागफल नियम — अनुपात का अवकलज:′ =/v², v ≠ 0قاعدة القسمة: مشتقة النسبة′ =/v² حيث v ≠ 0règle du quotient :′ =/v², v ≠ 0aturan hasil bagi:′ =/v², v ≠ 0商法则：′ =/v²，v ≠ 0
• removable discontinuity — A break at x = a where the limit exists but differs from f(a) or f(a) is undefined.हटाने योग्य असंततताانقطاع قابل للإزالة: النهاية موجودة عند a لكنها…discontinuité supprimable : la limite en a existe…diskontinuitas yang dapat dihapus: limit di a ada…可去间断点：x = a 处极限存在，但与 f 不等或 f 无定义
• right-hand derivative — The derivative computed only from points to the right of c, with h approaching 0 through positive values.दायाँ अवकलज — केवल c के दायीं ओर के बिंदुओं से…المشتقة من اليمين: المشتقة المحسوبة باستعمال نقاط…dérivée à droite : dérivée calculée avec les…turunan kanan: turunan yang dihitung dari titik…右导数：仅用 c 右侧的点求得的导数 lim [f − f] ÷ h
• Rolle's theorem — A continuous, differentiable function with equal values at both ends has a point with zero slope between them.रोल का प्रमेय — यदि f अंतराल [a, b] पर संतत, में…مبرهنة رول: إذا كانت f متصلة على [a, b] وقابلة…théorème de Rolle : si f est continue sur [a, b]…teorema Rolle: jika f kontinu pada [a, b]…罗尔定理：若 f 在 [a, b] 上连续，在 内可导且 f = f，则 内存在 c 使 f′ =…
• second order derivative — The derivative of the derivative of a function, written d²y/dx² or f″(x).द्वितीय कोटि का अवकलज — किसी फलन के अवकलज का…المشتقة الثانية: مشتقة المشتقة الأولى للدالة،…dérivée seconde : dérivée de la dérivée d'une…turunan kedua: turunan dari turunan suatu fungsi…二阶导数：函数导数的导数，记作 d²y/dx² 或 f″
• sum rule — The derivative of a sum is the sum of the derivatives: (u + v)′ = u′ + v′.योग नियमقاعدة المجموع: مشتقة المجموع تساوي مجموع…règle de la somme : la dérivée d'une somme est la…aturan jumlah: turunan jumlah sama dengan jumlah…和的求导法则：和的导数等于导数之和，′ = u′ + v′
• third derivative — The derivative of the second derivative, written f‴(x) or d³y/dx³.तृतीय अवकलजالمشتقة الثالثة: مشتقة المشتقة الثانية f‴ أو…dérivée troisième : dérivée de la dérivée…turunan ketiga: turunan dari turunan kedua…三阶导数：二阶导数的导数，记作 f‴ 或 d³y/dx³