Determinants

CBSE · Class 12 · Maths · Chapter 4 · 37 words

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• adjoint of a matrix — adj A is the transpose of the matrix of cofactors of A; it satisfies A (adj A) = |A| I.सहखंडज — adj A, A के सहखंडों के आव्यूह का परिवर्तالمصفوفة المرافقة: منقول مصفوفة العوامل المرافقة…matrice adjointe : transposée de la matrice des…adjoin matriks: transpos dari matriks kofaktor, A…伴随矩阵：代数余子式矩阵的转置，满足 A = |A| I
• adjugate — The transpose of the cofactor matrix of a square matrix A, written adj A.सहखंडज — वर्ग आव्यूह A के सहखंड आव्यूह का…المصفوفة الملحقة: منقول مصفوفة المرافقات للمصفوفة…matrice adjointe : transposée de la matrice des…adjoin: transpos dari matriks kofaktor matriks…伴随矩阵：方阵 A 的代数余子式矩阵的转置，记作 adj A
• area of a triangle — The space enclosed by a triangle; with coordinates it is half the absolute value of a determinant-style expression.त्रिभुज का क्षेत्रफल — त्रिभुज द्वारा घिरा तलمساحة المثلث: المساحة التي يحيط بها المثلث،…aire d'un triangle : surface délimitée par un…luas segitiga: daerah yang dibatasi segitiga三角形的面积：三角形所围成的平面部分；用坐标时等于行列式型表达式绝对值的一半
• area of a triangle using determinants — Area = ½ |Δ| for the determinant Δ of vertex coordinates with a column of 1s.सारणिक से त्रिभुज का क्षेत्रफलمساحة المثلث بالمحددات: المساحة = ½ |Δ| حيث Δ…aire d'un triangle par un déterminant : aire = ½…luas segitiga dengan determinan: luas = ½ |Δ|…用行列式求三角形面积：面积 = ½ |Δ|，Δ 为顶点坐标行列式
• coefficient matrix — The matrix of coefficients of the variables in a system of linear equations.गुणांक आव्यूहمصفوفة المعاملات: مصفوفة معاملات المتغيرات في…matrice des coefficients : matrice des…matriks koefisien: matriks yang berisi koefisien…系数矩阵：线性方程组中各未知数系数构成的矩阵
• cofactor — The cofactor of aᵢⱼ is Aᵢⱼ = (−1)^(i + j) Mᵢⱼ, the minor with a checkerboard sign.सहखंड — aᵢⱼ का सहखंड Aᵢⱼ =^ Mᵢⱼ, यानी शतरंज-जैसे…المرافق: Aᵢⱼ =^ Mᵢⱼ أي الصغرى مضروبة بإشارة رقعة…cofacteur : Aᵢⱼ =^ Mᵢⱼ, le mineur affecté d'un…kofaktor: Aᵢⱼ =^ Mᵢⱼ, minor dengan tanda papan…代数余子式：Aᵢⱼ =^ Mᵢⱼ，即带棋盘式符号的余子式
• cofactor matrix — The matrix whose entries are the cofactors Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ of the original matrix.सहखंड आव्यूहمصفوفة العوامل المرافقة: مصفوفة عناصرها Cᵢⱼ =ⁱ⁺ʲ…matrice des cofacteurs : matrice des Cᵢⱼ =ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼmatriks kofaktor: matriks berunsur Cᵢⱼ =ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ余子式矩阵（代数余子式矩阵）：元素为 Cᵢⱼ =ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ 的矩阵
• collinear points — Three or more points that all lie on one straight line.संरेख बिंदु — तीन या अधिक बिंदु जो एक ही सरल रेखा…نقاط على استقامة واحدة: ثلاث نقاط أو أكثر تقع على…points alignés : trois points ou plus situés sur…titik-titik kolinear: tiga titik atau lebih yang…共线点：位于同一条直线上的三个或更多个点
• column operations — Changes made to the columns of a determinant, like swapping or adding multiples, to simplify its value.स्तंभ संक्रियाएँ — सारणिक को सरल बनाने के लिए…العمليات على الأعمدة: تغييرات على أعمدة المحدد…opérations sur les colonnes : transformations des…operasi kolom: perubahan pada kolom determinan…列变换：对行列式的列进行交换或加上倍数等操作以便化简
• consistent system — A system of equations that has at least one solution, either a unique one or infinitely many.संगत निकाय — समीकरणों का ऐसा निकाय जिसका कम से कम…جملة متسقة: جملة معادلات لها حل واحد على الأقلsystème compatible : système d'équations…sistem konsisten: sistem persamaan yang memiliki…相容方程组（有解方程组）：至少有一个解的方程组，解唯一或有无穷多个
• Cramer's rule — Solves a linear system with each unknown as a ratio of determinants, like x = Dₓ ÷ D.क्रेमर का नियम — प्रत्येक अज्ञात को दो सारणिकों…قاعدة كرامر: طريقة تعطي كل مجهول كنسبة محددين: x…règle de Cramer : méthode donnant chaque inconnue…aturan Cramer: metode yang memberi tiap variabel…克拉默法则：用两个行列式之比表示每个未知数，x = Dₓ ÷ D
• determinant — A single number |A| associated with a square matrix; for 2 × 2, |A| = ad − bc.सारणिक — वर्ग आव्यूह से जुड़ी एक संख्या |A|المحدد: عدد مرتبط بمصفوفة مربعة |A|؛ لمصفوفة 2 ×…déterminant : nombre |A| associé à une matrice…determinan: bilangan |A| dari matriks persegi行列式：与方阵对应的一个数 |A|，2 × 2 时 |A| = ad − bc
• determinant of product — The determinant of a product of square matrices equals the product of their determinants: |AB| = |A||B|.गुणनफल का सारणिक — |AB| = |A||B|, अर्थात् दो वर्ग…محدد حاصل الضرب: محدد حاصل ضرب مصفوفتين مربعتين…déterminant d'un produit : le déterminant du…determinan hasil kali: determinan hasil kali dua…乘积的行列式：两个方阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积
• expansion of determinant — Computing |A| by multiplying each entry of a chosen row or column by its cofactor and adding: |A| = Σ aᵢⱼ Aᵢⱼ.सारणिक का प्रसार — चुनी हुई पंक्ति या स्तंभ के हर…نشر المحدد: حساب |A| بضرب كل عنصر في صف أو عمود…développement d'un déterminant : |A| = Σ aᵢⱼ Aᵢⱼ…ekspansi determinan: |A| = Σ aᵢⱼ Aᵢⱼ sepanjang…行列式展开：沿某行或某列，各元素乘以其代数余子式再求和
• homogeneous system — A system AX = O in which every constant term is zero.समघात निकाय — AX = O के रूप का निकाय जिसमें सभी…جملة متجانسة: جملة AX = O تكون فيها كل الحدود…système homogène : système AX = O dont tous les…sistem homogen: sistem AX = O yang semua suku…齐次方程组：常数项全为零的方程组 AX = O
• inconsistent system — A system of equations that has no solution at all.असंगत निकाय — समीकरणों का ऐसा निकाय जिसका कोई भी…جملة غير متسقة: جملة معادلات لا يوجد لها أي حلsystème incompatible : système d'équations…sistem tidak konsisten: sistem persamaan yang…不相容方程组（无解方程组）：没有任何解的方程组
• infinitely many solutions — Endless pairs of values that satisfy both equations; the lines coincide.अनंत हल — दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने वाले…حلول لا نهائية: أزواج قيم لا حصر لها تحقق…une infinité de solutions : une infinité de…penyelesaian tak hingga banyak: pasangan nilai…无穷多解：有无数对值同时满足两个方程；两直线重合
• inverse of a matrix — The matrix A⁻¹ with A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; found as A⁻¹ = adj A / |A|.आव्यूह का प्रतिलोम — आव्यूह A⁻¹ जिसके लिए A A⁻¹ =…معكوس المصفوفة: المصفوفة A⁻¹ التي تحقق A A⁻¹ = I…inverse d'une matrice : A⁻¹ telle que A A⁻¹ = I…invers matriks: A⁻¹ dengan A A⁻¹ = I, dihitung…逆矩阵：满足 A A⁻¹ = I 的 A⁻¹，计算公式 A⁻¹ = adj A / |A|
• inverse of a product — (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ for invertible matrices A and B of the same order.गुणनफल का प्रतिलोमمعكوس حاصل الضرب:⁻¹ = B⁻¹A⁻¹inverse d'un produit :⁻¹ = B⁻¹A⁻¹invers hasil kali:⁻¹ = B⁻¹A⁻¹乘积的逆：⁻¹ = B⁻¹A⁻¹
• minor — The minor Mᵢⱼ of an entry aᵢⱼ is the determinant left after deleting row i and column j.उपसारणिक — अवयव aᵢⱼ का उपसारणिक Mᵢⱼ वह सारणिक है…الصغرى Mᵢⱼ: محدد ما يتبقى بعد حذف الصف i والعمود jmineur : déterminant restant après suppression de…minor: determinan sisa setelah baris i dan kolom…余子式：划去第 i 行第 j 列后剩下的行列式 Mᵢⱼ
• no solution — A situation in which no pair of values satisfies both equations; the lines are parallel.कोई हल नहीं — ऐसी स्थिति जिसमें कोई मान-युग्म…لا حل: حالة لا يحقق فيها أي زوج قيم المعادلتين…aucune solution : situation où aucun couple de…tidak ada penyelesaian: keadaan saat tidak ada…无解：没有任何一对值同时满足两个方程；两直线平行
• non-homogeneous system — A linear system AX = B in which the constants column B is not all zero.अ-समघात निकायنظام غير متجانس: نظام خطي AX = B وعمود الثوابت B…système non homogène : système linéaire AX = B…sistem tak homogen: sistem linear AX = B dengan…非齐次方程组：常数项列 B 不全为零的线性方程组 AX = B
• non-singular matrix — A square matrix whose determinant is non-zero; it has a unique inverse.नॉन-सिंगुलर आव्यूह — वर्ग आव्यूह जिसका सारणिक…مصفوفة غير شاذة: مصفوفة مربعة محددها لا يساوي…matrice non singulière : matrice carrée de…matriks non-singular: matriks persegi…非奇异矩阵：行列式不为 0、有唯一逆矩阵的方阵
• non-trivial solution — A solution of a homogeneous system AX = O in which at least one variable is non-zero.अतुच्छ हलحل غير صفري: حل نظام متجانس AX = O فيه متغير واحد…solution non triviale : solution non nulle d'un…penyelesaian tak trivial: penyelesaian sistem…非平凡解：齐次方程组 AX = O 中至少一个未知数不为零的解
• order of determinant — The number of rows (equal to columns) of a square determinant; an n×n determinant has order n.सारणिक की कोटि — वर्ग सारणिक की पंक्तियों की…رتبة المحدد: عدد صفوف المحدد المربع؛ المحدد n×n…ordre d'un déterminant : nombre de lignes d'un…orde determinan: banyaknya baris determinan…行列式的阶：方阵行列式的行数（等于列数）；n×n 行列式为 n 阶
• orthogonal — Of a square matrix A: satisfying AᵀA = I, so its inverse is its transpose.लंबकोणीयمتعامدة: مصفوفة مربعة تحقق AᵀA = I فمعكوسها مدورهاorthogonale : matrice carrée telle que AᵀA = I…ortogonal: matriks persegi dengan AᵀA = I…正交矩阵：满足 AᵀA = I 的方阵，其逆即转置
• properties of determinants — Rules such as |A′| = |A|, swapping two rows changes the sign, identical rows give 0, |AB| = |A||B|.सारणिकों के गुणधर्म — |A′| = |A|, दो पंक्तियाँ…خصائص المحددات: |A′| = |A| وتبديل صفين يغيّر…propriétés des déterminants : |A′| = |A|, échange…sifat determinan: |A′| = |A|, tukar baris…行列式的性质：|A′| = |A|，换行变号，两行相同则为 0，|AB| = |A||B|
• rank of a matrix — The number of non-zero rows in echelon form, equal to the order of the largest non-zero minor.आव्यूह की कोटिرتبة المصفوفة: عدد الصفوف غير الصفرية في الصورة…rang d'une matrice : nombre de lignes non nulles…rank matriks: banyak baris tak nol pada bentuk…矩阵的秩：行阶梯形中非零行的个数
• row operations — Operations on rows: Rᵢ ↔ Rⱼ, Rᵢ → kRᵢ (k ≠ 0), Rᵢ → Rᵢ + kRⱼ; used to find inverses and simplify determinants.पंक्ति संक्रियाएँ — पंक्तियों पर संक्रियाएँ: Rᵢ ↔…عمليات الصفوف: تبديل صفين وضرب صف بعدد غير صفري…opérations sur les lignes : échange…operasi baris: tukar baris, kalikan dengan k ≠ 0…行变换：交换两行、用非零数乘一行、把一行的倍数加到另一行
• singular — Describes a square matrix whose determinant is zero, so it has no inverse.अव्युत्क्रमणीय — ऐसा वर्ग आव्यूह जिसका सारणिक…مصفوفة شاذة: مصفوفة مربعة محددها صفر فلا معكوس لهاsingulière : se dit d'une matrice carrée de…singular: matriks persegi yang determinannya nol…奇异的（降秩的）：行列式为零的方阵，因此没有逆矩阵
• singular matrix — A square matrix whose determinant is zero; it has no inverse.सिंगुलर आव्यूह — वर्ग आव्यूह जिसका सारणिक शून्य होمصفوفة شاذة: مصفوفة مربعة محددها صفر ولا معكوس لهاmatrice singulière : matrice carrée de…matriks singular: matriks persegi berdeterminan…奇异矩阵：行列式为 0、没有逆矩阵的方阵
• solution by matrix method — Solving AX = B by writing X = A⁻¹B, which works when A is non-singular.आव्यूह विधि से हल — AX = B को X = A⁻¹B लिखकर हल…الحل بطريقة المصفوفات: حل AX = B بكتابة X = A⁻¹B…résolution par la méthode matricielle : on résout…penyelesaian dengan metode matriks: menyelesaikan…矩阵法解方程组：当 A 可逆时，把 AX = B 写成 X = A⁻¹B 求解
• system of linear equations — A set of two or more linear equations in the same unknowns, solved together for common values.रैखिक समीकरण निकाय — एक ही अज्ञात राशियों वाले दो…جملة معادلات خطية: مجموعة من معادلتين خطيتين أو…système d'équations linéaires : ensemble…sistem persamaan linear: kumpulan dua atau lebih…线性方程组：含相同未知数的两个或多个线性方程，需要同时求解
• trivial solution — The solution X = O (all variables zero) of a homogeneous system AX = O.तुच्छ हलالحل الصفري: X = O لنظام متجانس AX = Osolution triviale : X = O, solution du système…penyelesaian trivial: X = O, penyelesaian sistem…平凡解（零解）：齐次方程组 AX = O 的解 X = O
• unique solution — Exactly one solution; one pair (x, y) that satisfies both equations.अद्वितीय हल — ठीक एक हलحل وحيد: حل واحد فقط؛ زوج واحد يحقق المعادلتينsolution unique : une seule solution, un seul…penyelesaian tunggal: tepat satu penyelesaian…唯一解：恰有一个解，只有一对 同时满足两个方程
• value of determinant — The single number a square matrix's determinant stands for; for 2×2 it is ad − bc.सारणिक का मान — वर्ग आव्यूह से सारणिक-नियम द्वारा…قيمة المحدد: العدد الوحيد الناتج عن مصفوفة مربعة…valeur d'un déterminant : le nombre unique…nilai determinan: bilangan tunggal dari matriks…行列式的值：由方阵按行列式法则得到的一个数；二阶时等于 ad − bc
• zero determinant — A determinant whose value is 0, which happens when two rows or columns are equal or proportional.शून्य सारणिक — वह सारणिक जिसका मान 0 हो, जो तब…محدد صفري: محدد قيمته 0، ويحدث عند تساوي صفين أو…déterminant nul : déterminant de valeur 0, ce qui…determinan nol: determinan bernilai 0, terjadi…零行列式：值为 0 的行列式，当两行（列）相同或成比例时出现