Complex Numbers and Quadratic Equations

CBSE · Class 11 · Maths · Chapter 4 · 47 words

All words in this list

• additive identity — The number that leaves any number unchanged when added; for complex numbers, 0 + 0i.योज्य तत्समकالمحايد الجمعي: عدد لا يغير أي عدد عند إضافته إليهélément neutre de l'addition : nombre qui ne…identitas penjumlahan: bilangan yang jika…加法单位元：加到任何数上都不改变该数的数，即 0
• additive inverse — The number added to z to give 0; for a + ib it is −a − ib.योज्य प्रतिलोमالنظير الجمعي: العدد الذي يعطي مجموعه مع z الصفرopposé : nombre dont la somme avec z vaut 0invers penjumlahan: bilangan yang jika…加法逆元：与 z 相加得 0 的数
• algebra of complex numbers — Rules for adding, subtracting, multiplying and dividing complex numbers, using i² = −1.सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित — सम्मिश्र संख्याओं…جبر الأعداد المركبة: قواعد جمع الأعداد المركبة…algèbre des nombres complexes : règles…aljabar bilangan kompleks: aturan penjumlahan…复数的运算：复数加、减、乘、除的法则，其中 i² = −1
• Argand plane — The plane in which the complex number a + ib is shown as the point (a, b).आर्गंड तल — वह तल जिसमें सम्मिश्र संख्या a + ib…مستوى أرغان: المستوى الذي يمثل فيه العدد المركب a…plan d'Argand : plan où le nombre complexe a + ib…bidang Argand: bidang tempat bilangan kompleks a…阿尔甘图平面：把复数 a + ib 表示为点 的平面
• associative property — Grouping of three sets (or numbers) in an operation does not change the result.साहचर्य गुणخاصية التجميع: تغيير تجميع ثلاثة عناصر لا يغير…propriété d'associativité : le regroupement de…sifat asosiatif: pengelompokan tiga unsur tidak…结合律：三个对象的分组方式不影响结果
• cis — Short for cos θ + i sin θ, used to write a complex number in polar form.ciscis: اختصار لـ cos θ + i sin θcis : abréviation de cos θ + i sin θcis: singkatan dari cos θ + i sin θcis：cos θ + i sin θ 的简写
• closure property — Combining any two members of a set by an operation gives a member of the same set.संवृत गुणخاصية الانغلاق: ناتج العملية على أي عنصرين يبقى…propriété de fermeture : le résultat de…sifat ketertutupan: hasil operasi dua anggota…封闭性：集合中任意两个元素运算的结果仍在该集合内
• commutative property — Changing the order of the two sets (or numbers) in an operation does not change the result.क्रमविनिमेय गुणخاصية الإبدال: تغيير ترتيب الطرفين لا يغير الناتجpropriété de commutativité : l'ordre des deux…sifat komutatif: urutan dua unsur tidak mengubah…交换律：交换两个对象的顺序，结果不变
• complex conjugate — For z = a + ib, the number a − ib, written z̄.सम्मिश्र संयुग्मीالمرافق المركب: للعدد z = a + ib المرافق a − ibconjugué complexe : pour z = a + ib, c'est a − ibsekawan kompleks: untuk z = a + ib, sekawannya a…共轭复数：z = a + ib 的共轭为 a − ib
• complex number — A number a + ib, where a and b are real and i² = −1.सम्मिश्र संख्या — a + ib रूप की संख्या, जहाँ a और…العدد المركب: عدد على الصورة a + ib حيث a و b…nombre complexe : nombre de la forme a + ib où a…bilangan kompleks: bilangan berbentuk a + ib…复数：形如 a + ib 的数，其中 a、b 为实数，i² = −1
• complex roots — Roots that are non-real complex numbers; for real-coefficient equations they come in conjugate pairs.सम्मिश्र मूल — वे मूल जो वास्तविक नहीं, सम्मिश्र…الجذور المركبة: جذور أعداد مركبة غير حقيقية، وفي…racines complexes : racines non réellesakar kompleks: akar yang bukan real复根：非实数的复数根；实系数方程的复根成共轭对出现
• conjugate — For z = a + ib, the number a − ib, written z̄: the imaginary part's sign changed.संयुग्मी — z = a + ib के लिए a − ib, जिसे z̄…المرافق: للعدد z = a + ib هو a − ib ويكتب z̄…conjugué : pour z = a + ib, le nombre a − ib…konjugat: untuk z = a + ib, bilangan a − ib…共轭复数：对 z = a + ib，数 a − ib，记作 z̄，即虚部变号
• cube roots of unity — The three numbers whose cube is 1: 1, ω = (−1 + i√3)/2, ω² = (−1 − i√3)/2.इकाई के घनमूल — वे तीन संख्याएँ जिनका घन 1 है: 1…الجذور التكعيبية للوحدة: الأعداد الثلاثة التي…racines cubiques de l'unité : les trois nombres…akar pangkat tiga satuan: tiga bilangan yang…单位立方根：立方等于 1 的三个数：1、ω =/2 与 ω² =/2
• De Moivre's theorem — (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ, used for powers and roots.डी मोइव्र का प्रमेय — प्रमेयⁿ = cos nθ + i sin…نظرية دي موافر:ⁿ = cos nθ + i sin nθ وتستخدم…théorème de De Moivre :ⁿ = cos nθ + i sin nθ…teorema De Moivre:ⁿ = cos nθ + i sin nθ, untuk…棣莫弗定理：ⁿ = cos nθ + i sin nθ，用于求复数的幂和根
• discriminant — The expression b² − 4ac that shows the nature of the roots of a quadratic.विविक्तकर — व्यंजक b² − 4ac जो द्विघात के मूलों…المميّز: العبارة ب² − 4أج التي تبيّن طبيعة جذور…discriminant : expression b² − 4ac indiquant la…diskriminan: ungkapan b² − 4ac yang menunjukkan…判别式：b² − 4ac，表示二次方程根的性质
• distributive property — One operation spreads over another: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).वितरण गुणخاصية التوزيع: عملية تتوزع على عملية أخرىpropriété de distributivité : une opération se…sifat distributif: satu operasi menyebar ke…分配律：一种运算对另一种运算可分配
• division of complex numbers — Dividing complex numbers by multiplying top and bottom by the conjugate of the denominator.सम्मिश्र संख्याओं का विभाजनقسمة الأعداد المركبة: نضرب البسط والمقام في مرافق…division de nombres complexes : multiplier…pembagian bilangan kompleks: kalikan pembilang…复数除法：分子分母同乘分母的共轭复数
• equality of complex numbers — Two complex numbers are equal exactly when their real parts match and their imaginary parts match.सम्मिश्र संख्याओं की समता — दो सम्मिश्र संख्याएँ…تساوي الأعداد المركبة: يتساوى عددان مركبان تماما…égalité de nombres complexes : deux complexes…kesamaan bilangan kompleks: dua bilangan kompleks…复数相等：两个复数相等当且仅当实部相等且虚部相等
• Euler's form — Writing z = re^(iθ), using Euler's formula e^(iθ) = cos θ + i sin θ.यूलर रूप — सम्मिश्र संख्या को z = re^ लिखना, यूलर…صيغة أويلر: كتابة العدد المركب على الصورة z = re^…forme d'Euler : écriture z = re^ d'un nombre…bentuk Euler: menulis bilangan kompleks sebagai z…欧拉形式：利用 e^ = cos θ + i sin θ 把复数写成 z = re^
• euler's formula — The identity e^(iθ) = cos θ + i sin θ linking exponentials and trigonometry.यूलर का सूत्रصيغة أويلر: e^ = cos θ + i sin θformule d'Euler : e^ = cos θ + i sin θrumus Euler: e^ = cos θ + i sin θ欧拉公式：e^ = cos θ + i sin θ
• fundamental theorem of algebra — The theorem that every non-constant polynomial has a complex root, so a degree-n polynomial has n complex roots.बीजगणित की मूलभूत प्रमेय — वह प्रमेय कि हर…النظرية الأساسية في الجبر: لكل كثيرة حدود غير…théorème fondamental de l'algèbre : tout polynôme…teorema dasar aljabar: setiap polinom tak konstan…代数基本定理：每个非常数多项式都有复根，因此 n 次多项式有 n 个复根
• imaginary axis — The vertical axis of the Argand plane, holding the numbers ib, with real part 0.काल्पनिक अक्ष — आर्गंड तल का ऊर्ध्वाधर अक्ष, जिस…المحور التخيلي: المحور الرأسي لمستوى أرغان وعليه…axe imaginaire : axe vertical du plan d'Argand…sumbu imajiner: sumbu vertikal bidang Argand yang…虚轴：阿尔甘图平面的竖直轴，包含实部为 0 的数 ib
• imaginary number — A number of the form bi, where b is real and i² = −1.काल्पनिक संख्याالعدد التخيلي: عدد على الصورة bi حيث b حقيقي و i²…nombre imaginaire : nombre de la forme bi avec b…bilangan imajiner: bilangan berbentuk bi dengan b…虚数：形如 bi 的数，其中 b 为实数，i² = −1
• imaginary part — For z = a + ib, the real number b (not ib), written Im(z).काल्पनिक भाग — z = a + ib के लिए वास्तविक संख्या…الجزء التخيلي: للعدد z = a + ib هو العدد الحقيقي…partie imaginaire : pour z = a + ib, le réel b…bagian imajiner: untuk z = a + ib, bilangan real…虚部：对 z = a + ib，实数 b（不是 ib），记作 Im
• imaginary unit — The number i, defined by i² = −1, on which all imaginary and complex numbers are built.काल्पनिक इकाई — संख्या i, जो i² = −1 से परिभाषित…الوحدة التخيلية: العدد i المعرف بـ i² = −1 وتبنى…unité imaginaire : le nombre i défini par i² =…satuan imajiner: bilangan i yang didefinisikan i²…虚数单位：由 i² = −1 定义的数 i，是虚数与复数的基础
• iota — Name used in NCERT books for the imaginary unit i, where i² = −1.आयोटा — NCERT पुस्तकों में काल्पनिक इकाई i का…إيوتا: اسم يطلق في كتب NCERT على الوحدة التخيلية…iota : nom donné dans les manuels NCERT à l'unité…iota: nama dalam buku NCERT untuk satuan imajiner…iota（ι）：NCERT 教材中对虚数单位 i 的称呼，i² = −1
• locus of complex numbers — The set of points z on the Argand plane that satisfy a given condition.सम्मिश्र संख्याओं का बिंदुपथالمحل الهندسي للأعداد المركبة: مجموعة النقاط z…lieu géométrique de nombres complexes : ensemble…lokus bilangan kompleks: himpunan titik z pada…复数的轨迹：满足给定条件的 z 在复平面上的点集
• modulus — For z = a + ib, its distance from the origin: |z| = √(a² + b²).मापांक — z = a + ib के लिए आर्गंड तल पर मूल बिंदु…المقياس: للعدد z = a + ib هو بعد z عن نقطة الأصل…module : pour z = a + ib, distance de z à…modulus: untuk z = a + ib, jarak z dari titik…模：对 z = a + ib，z 到原点的距离，|z| = √
• modulus of a complex number — The distance of a + ib from the origin, |z| = √(a² + b²).सम्मिश्र संख्या का मापांकمعيار العدد المركب: بعد a + ib عن الأصل |z| = √module d'un nombre complexe : distance de a + ib…modulus bilangan kompleks: jarak a + ib dari…复数的模：a + ib 到原点的距离 |z| = √
• multiplication of complex numbers — Multiplying two complex numbers using distribution and i² = −1.सम्मिश्र संख्याओं का गुणनضرب الأعداد المركبة: بالتوزيع مع i² = −1multiplication de nombres complexes : développer…perkalian bilangan kompleks: jabarkan lalu ganti…复数乘法：展开后用 −1 代替 i²
• multiplicative identity — The number which, when multiplied with any number, leaves it unchanged; it is 1 (or 1 + 0i).गुणात्मक तत्समकالمحايد الضربي: عدد لا يغير أي عدد عند الضرب فيهélément neutre de la multiplication : nombre qui…identitas perkalian: bilangan yang jika dikalikan…乘法单位元：乘以任何数都不改变该数的数，即 1
• multiplicative inverse — For nonzero z, the number z⁻¹ with z × z⁻¹ = 1; it equals z̄/|z|².गुणात्मक प्रतिलोम — अशून्य सम्मिश्र z के लिए…النظير الضربي: للعدد المركب غير الصفري z هو العدد…inverse multiplicatif : pour z non nul, le nombre…invers perkalian: untuk z tak nol, bilangan z⁻¹…乘法逆元：对非零复数 z，满足 z × z⁻¹ = 1 的数 z⁻¹，等于 z̄ / |z|²
• polar form — Writing z as r(cos θ + i sin θ), using its modulus r and argument θ.ध्रुवीय रूप — सम्मिश्र संख्या को उसके मापांक r और…الصيغة القطبية: كتابة العدد المركب على الصورة z =…forme polaire : écriture z = r d'un nombre…bentuk polar: menulis bilangan kompleks sebagai z…极坐标形式：用模 r 和辐角 θ 把复数写成 z = r
• powers of iota — The values i, −1, −i, 1 that the powers of i repeat in a cycle of four.आयोटा की घातें — वे मान i, −1, −i, 1 जो i की…قوى إيوتا: القيم i و −1 و −i و 1 التي تتكرر بها…puissances de i : valeurs i, −1, −i, 1 qui se…pangkat i: nilai i, −1, −i, 1 yang berulang dalam…i 的幂：i、−1、−i、1 四个值循环出现
• principal argument — The angle of a complex number from the positive real axis, chosen in (−π, π].मुख्य कोणांक — सम्मिश्र संख्या का धनात्मक…السعة الأساسية: زاوية العدد المركب من محور…argument principal : angle θ d'un nombre complexe…argumen pokok: sudut θ bilangan kompleks dari…主辐角：复数从正实轴量起的角 θ，取在 −π < θ ≤ π 内
• purely imaginary — Describes a complex number whose real part is 0 and imaginary part is not 0, like 5i.विशुद्ध काल्पनिक — ऐसी सम्मिश्र संख्या जिसका…تخيلي صرف: عدد مركب جزؤه الحقيقي 0 وجزؤه التخيلي…imaginaire pur : nombre complexe de partie réelle…imajiner murni: bilangan kompleks dengan bagian…纯虚数：实部为 0 且虚部不为 0 的复数，如 5i
• quadratic equation — An equation of the form ax² + bx + c = 0 where a ≠ 0.द्विघात समीकरण — ax² + bx + c = 0 रूप का समीकरण…معادلة تربيعية: معادلة على الصورة أس² + بس + ج =…équation du second degré : équation de la forme…persamaan kuadrat: persamaan berbentuk ax² + bx +…二次方程：形如 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的方程
• quadratic equation with complex roots — A quadratic equation whose discriminant is negative, giving two complex conjugate roots.सम्मिश्र मूलों वाला द्विघात समीकरणمعادلة تربيعية جذورها مركبة: مميزها سالب فتعطي…équation du second degré à racines complexes …persamaan kuadrat dengan akar kompleks…复根二次方程：判别式为负，有一对共轭复根
• real axis — The horizontal axis of the Argand plane, holding all real numbers a + 0i.वास्तविक अक्ष — आर्गंड तल का क्षैतिज अक्ष, जिस पर…المحور الحقيقي: المحور الأفقي لمستوى أرغان وعليه…axe réel : axe horizontal du plan d'Argand…sumbu real: sumbu horizontal bidang Argand yang…实轴：阿尔甘图平面的水平轴，包含所有实数 a + 0i
• real part — For z = a + ib, the real number a, written Re(z).वास्तविक भाग — z = a + ib के लिए वास्तविक संख्या…الجزء الحقيقي: للعدد z = a + ib هو العدد الحقيقي…partie réelle : pour z = a + ib, le réel a, noté…bagian real: untuk z = a + ib, bilangan real a…实部：对 z = a + ib，实数 a，记作 Re
• reciprocal — For nonzero z, the number 1/z; for a + ib it is (a − ib)/(a² + b²).व्युत्क्रम — अशून्य संख्या z के लिए संख्या 1/zالمقلوب: للعدد غير الصفري z هو العدد 1/z، وللعدد…inverse : pour z non nul, le nombre 1/zkebalikan: untuk z tak nol, bilangan 1/z倒数：对非零数 z，指 1/z；对 z = a + ib 为/
• roots of quadratic equation — Values of x solving ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b² − 4ac))/2a.द्विघात समीकरण के मूल — ax² + bx + c = 0 को…جذور المعادلة التربيعية: قيم x التي تحقق ax² + bx…racines d'une équation du second degré : valeurs…akar persamaan kuadrat: nilai x yang memenuhi ax²…二次方程的根：满足 ax² + bx + c = 0 的 x 值，由 x =) / 2a 给出
• square root of a complex number — A complex w with w² = z; every nonzero z has two such roots, opposite in sign.सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल — सम्मिश्र संख्या w…الجذر التربيعي لعدد مركب: عدد مركب w يحقق w² = z،…racine carrée d'un nombre complexe : nombre w tel…akar kuadrat bilangan kompleks: bilangan w dengan…复数的平方根：满足 w² = z 的复数 w；每个非零复数有两个互为相反数的平方根
• standard form of a complex number — The form a + ib with real part a and imaginary part b.सम्मिश्र संख्या का मानक रूपالصورة القياسية للعدد المركب: a + ib حيث a الجزء…forme algébrique d'un nombre complexe : a + ib…bentuk baku bilangan kompleks: a + ib dengan…复数的标准形式：a + ib，实部为 a，虚部为 b
• standard form of a quadratic equation — The form ax² + bx + c = 0, with a ≠ 0.द्विघात समीकरण का मानक रूपالصورة القياسية للمعادلة التربيعية: ax² + bx + c…forme standard d'une équation du second degré …bentuk baku persamaan kuadrat: ax² + bx + c = 0…二次方程的标准形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）
• subtraction of complex numbers — Subtracting the real parts and the imaginary parts separately.सम्मिश्र संख्याओं का व्यवकलनطرح الأعداد المركبة: نطرح الجزأين الحقيقيين ثم…soustraction de nombres complexes : on soustrait…pengurangan bilangan kompleks: kurangkan bagian…复数减法：实部与虚部分别相减
• triangle inequality — For complex numbers, |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, like a triangle side versus the other two.त्रिभुज असमिका — सम्मिश्र संख्याओं के लिए |z₁ +…متباينة المثلث: للأعداد المركبة |z₁ + z₂| ≤ |z₁|…inégalité triangulaire : pour des complexes, |z₁…ketaksamaan segitiga: untuk bilangan kompleks…三角不等式：对复数有 |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|，如同三角形一边不超过另两边之和